55В. Решите неравенство \(0,5{\log _{x-2}}\left( {{x^2}-10x + 25} \right) + {\log _{5-x}}\left( {7x-{x^2}-10} \right) \ge 3\).
ОТВЕТ: \(\left( {3;\;4} \right).\)
\(0,5{\log _{x-2}}\left( {{x^2}-10x + 25} \right) + {\log _{5-x}}\left( {7x-{x^2}-10} \right) \ge 3.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x-2 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,}\\{{x^2}-10x + 25 > 0,\,}\\{5-x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{5-x \ne 1,\,\,\,\,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\\{7x-{x^2}-10 > 0\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\,}\\{{{\left( {x-5} \right)}^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x < 5,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\,\;\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\\{\left( {5-x} \right)\left( {x-2} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\,\,}\\{x \ne 3,\;\;\;\,\,\,}\\{x \ne 5,\;\;\,\;\;}\\{x < 5,\,\,\,\,\;\,\,}\\{x \ne 4,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \in \left( {2;5} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {2;3} \right) \cup \left( {3;4} \right) \cup \left( {4;5} \right).\) \(0,5{\log _{x-2}}\left( {{x^2}-10x + 25} \right) + {\log _{5-x}}\left( {7x-{x^2}-10} \right) \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;0,5{\log _{x-2}}{\left( {5-x} \right)^2} + {\log _{5-x}}\left( {x-2} \right)\left( {5-x} \right) \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x-2}}\left| {5-x} \right| + {\log _{5-x}}\left| {x-2} \right| + {\log _{5-x}}\left| {5-x} \right|-3 \ge 0.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {2;3} \right) \cup \left( {3;4} \right) \cup \left( {4;5} \right),\) то \(\left| {5-x} \right| = 5-x,\;\;\;\;\left| {x-2} \right| = x-2.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \({\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) + {\log _{5-x}}\left( {x-2} \right) + {\log _{5-x}}\left( {5-x} \right)-3 \ge 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\,\;\;{\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) + {\log _{5-x}}\left( {x-2} \right) + 1-3 \ge 0.\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) + {\log _{5-x}}\left( {x-2} \right) + 1-3 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) + \dfrac{1}{{{{\log }_{x-2}}\left( {5-x} \right)}}-2 \ge 0.\) Пусть \({\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(t + \dfrac{1}{t}-2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{t} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;t > 0.\) Вернёмся к прежней переменной: \({\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) > {\log _{x-2}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x-2}}\left( {5-x} \right) > {\log _{x-2}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-2-1} \right)\left( {5-x-1} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {x-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {3;4} \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {2;3} \right) \cup \left( {3;4} \right) \cup \left( {4;5} \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {3;\;4} \right).\) Ответ: \(\left( {3;\;4} \right).\)