56В. Решите неравенство \(0,5{\log _{x-1}}\left( {{x^2}-8x + 16} \right) + {\log _{4-x}}\left( {5x-{x^2}-4} \right) \ge 3\).
ОТВЕТ: \(\left( {2;\;3} \right).\)
\(0,5{\log _{x-1}}\left( {{x^2}-8x + 16} \right) + {\log _{4-x}}\left( {5x-{x^2}-4} \right) \ge 3.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x-1 \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,}\\{{x^2}-8x + 16 > 0,}\\{4-x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4-x \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\\{5x-{x^2}-4 > 0\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\;\,\,}\\{{{\left( {x-4} \right)}^2} > 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{x < 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\\{\left( {x-1} \right)\left( {4-x} \right) > 0}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\;\;\;\;\;}\\{x \ne 2,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 4\;\;\,\;\,\,}\\{x < 4,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 3,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \in \left( {1;4} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3;4} \right).\) \(0,5{\log _{x-1}}\left( {{x^2}-8x + 16} \right) + {\log _{4-x}}\left( {5x-{x^2}-4} \right) \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;0,5{\log _{x-1}}{\left( {4-x} \right)^2} + {\log _{4-x}}\left( {x-1} \right)\left( {4-x} \right) \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x-1}}\left| {4-x} \right| + {\log _{4-x}}\left| {x-1} \right| + {\log _{4-x}}\left| {4-x} \right|-3 \ge 0.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3;4} \right),\) то \(\left| {4-x} \right| = 4-x,\;\;\;\;\left| {x-1} \right| = x-1.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \({\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) + {\log _{4-x}}\left( {x-1} \right) + {\log _{4-x}}\left( {4-x} \right)-3 \ge 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\,\;\;{\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) + {\log _{4-x}}\left( {x-1} \right) + 1-3 \ge 0.\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) + {\log _{4-x}}\left( {x-1} \right) + 1-3 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) + \dfrac{1}{{{{\log }_{x-1}}\left( {4-x} \right)}}-2 \ge 0.\) Пусть \({\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(t + \dfrac{1}{t}-2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{t} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;t > 0.\) Вернёмся к прежней переменной: \({\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) > 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) > {\log _{x-1}}1.\) Неравенство вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{x-1}}\left( {4-x} \right) > {\log _{x-1}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1-1} \right)\left( {4-x-1} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;3} \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3;4} \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {2;\;3} \right).\) Ответ: \(\left( {2;\;3} \right).\)