57В. Решите неравенство \(\frac{{{{\log }_2}\left( {2x} \right) \cdot {{\log }_{0,5x}}2}}{{{{\log }_{0,125x}}8}} \le 1\).
\(\frac{{{{\log }_2}\left( {2x} \right) \cdot {{\log }_{0,5x}}2}}{{{{\log }_{0,125x}}8}} \le 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{0,125x > 0,}\\{0,125x \ne 1,\,}\\{0,5x > 0,\,\,\,\,\,\,}\\{0,5x \ne 1\,\,\,\;\,\,\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x > 0,}\\{x \ne 8,}\\{x > 0,}\\{x \ne 2\,}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;2} \right) \cup \left( {2;8} \right) \cup \left( {8;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \(\frac{{{{\log }_2}\left( {2x} \right) \cdot {{\log }_{0,5x}}2}}{{{{\log }_{0,125x}}8}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_2}\left( {2x} \right) \cdot {{\log }_8}\frac{x}{8}}}{{{{\log }_2}\frac{x}{2}}}-1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x} \right) \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( {{{\log }_2}x-{{\log }_2}8} \right)}}{{{{\log }_2}x-{{\log }_2}2}}-1 \le 0\left| { \cdot 3} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {1 + {{\log }_2}x} \right) \cdot \left( {{{\log }_2}x-3} \right)}}{{{{\log }_2}x-1}}-3 \le 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(\frac{{\left( {1 + t} \right) \cdot \left( {t-3} \right)}}{{t-1}}-3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t-3 + {t^2}-3t-3t + 3}}{{t-1}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t\left( {t-5} \right)}}{{t-1}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 0\,,\;\;\,\;\,}\\{1 < t \le 5.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le 0\,,\;\;\;\,}\\{1 < {{\log }_2}x \le 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le {{\log }_2}1\,,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{\log }_2}2 < {{\log }_2}x \le {{\log }_2}32}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le 1\,,\,}\\{2 < x \le 32}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {0;1} \right] \cup \left( {2;32} \right].\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением последнего неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right] \cup \left( {2;\;8} \right) \cup \left( {8;\;32} \right].\) Ответ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left( {2;\;8} \right) \cup \left( {8;\;32} \right].\)
