58В. Решите неравенство \(\frac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_{0,125x}}2}}{{{{\log }_{0,5x}}16}} \le \frac{1}{4}\).
\(\frac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_{0,125x}}2}}{{{{\log }_{0,5x}}16}} \le \frac{1}{4}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{0,125x > 0,}\\{0,125x \ne 1,\,}\\{0,5x > 0,\,\,\,\,\,\,}\\{0,5x \ne 1\,\,\,\;\,\,\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x > 0,}\\{x \ne 8,}\\{x > 0,}\\{x \ne 2\,}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;2} \right) \cup \left( {2;8} \right) \cup \left( {8;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \(\frac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_{0,125x}}2}}{{{{\log }_{0,5x}}16}} \le \frac{1}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_2}\left( {8x} \right) \cdot {{\log }_{16}}\frac{x}{2}}}{{{{\log }_2}\frac{x}{8}}}-\frac{1}{4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right) \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( {{{\log }_2}x-{{\log }_2}2} \right)}}{{{{\log }_2}x-{{\log }_2}8}}-\frac{1}{4} \le 0\left| { \cdot 4} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {3 + {{\log }_2}x} \right)\left( {{{\log }_2}x-1} \right)}}{{{{\log }_2}x-3}}-1 \le 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(\frac{{\left( {3 + t} \right)\left( {t-1} \right)}}{{t-3}}-1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3t-3 + {t^2}-t-t + 3}}{{t-3}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t\left( {t + 1} \right)}}{{t-3}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1\,,\;\;\;\,}\\{0 \le t < 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le -1\,,\;\;\,}\\{0 \le {{\log }_2}x < 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le {{\log }_2}\frac{1}{2}\,,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{{\log }_2}1 \le {{\log }_2}x < {{\log }_2}8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \frac{1}{2}\,,}\\{1 \le x < 8\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {0;0,5} \right] \cup \left[ {1;8} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением последнего неравенства является: \(x \in \left( {0;\;0,5} \right] \cup \left[ {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;8} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;0,5} \right] \cup \left[ {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;8} \right).\)
