59В. Решите неравенство \({\log _2}\left( {16x} \right) \ge {\log _{0,5x}}2 \cdot {\log _4}\left( {16{x^4}} \right)\).
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{8};\;2} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)
\({\log _2}\left( {16x} \right) \ge {\log _{0,5x}}2 \cdot {\log _4}\left( {16{x^4}} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16x > 0,\;\,}\\{0,5x > 0,}\\{0,5x \ne 1,\;}\\{16{x^4} > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x > 0,}\\{x \ne 2,}\\{x \ne 0\;}\end{array}} \right.\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _2}\left( {16x} \right) \ge {\log _{0,5x}}2 \cdot {\log _4}\left( {16{x^4}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {16x} \right)-\dfrac{{\dfrac{1}{2}{{\log }_2}\left( {16{x^4}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}16 + {\log _2}x-\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_2}16 + {{\log }_2}{x^4}} \right)}}{{{{\log }_2}x-{{\log }_2}2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4 + {\log _2}x-\dfrac{{2 + 2{{\log }_2}\left| x \right|}}{{{{\log }_2}x-1}} \ge 0.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(4 + {\log _2}x-\dfrac{{2 + 2{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}x-1}} \ge 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(4 + t-\dfrac{{2 + 2t}}{{t-1}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4t-4 + {t^2}-t-2-2t}}{{t-1}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + t-6}}{{t-1}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {t-2} \right)\left( {t + 3} \right)}}{{t-1}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le t < 1\,,}\\{t \ge 2.\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le {{\log }_2}x < 1\,,}\\{{{\log }_2}x \ge 2\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\dfrac{1}{8} \le {{\log }_2}x < {{\log }_2}2\,,}\\{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}4\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{8} \le x < 2\,,}\\{x \ge 4\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left[ {\dfrac{1}{8};2} \right) \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{8};2} \right) \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{8};\;2} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\) 