6В. Решите неравенство \(\dfrac{{\left( {{x^2}-7x + 12} \right) \cdot {{\log }_{x-2}}\left( {x-3} \right) \cdot \ln {{\left( {x-6} \right)}^2}}}{{2{x^2}-11x + 14}} \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {3;\;3,5} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {5;\;6} \right) \cup \left( {6;\;7} \right].\)
\(\dfrac{{\left( {{x^2}-7x + 12} \right) \cdot {{\log }_{x-2}}\left( {x-3} \right) \cdot \ln {{\left( {x-6} \right)}^2}}}{{2{x^2}-11x + 14}} \le 0.\) Запишем ограничения на подлогарифмические выражения и основание: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 > 0,\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {x-6} \right)}^2} > 0,}\\{x-2 > 0,\;\;\;\;}\\{x-2 \ne 1\;\;\,\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3,}\\{x \ne 6,}\\{x > 2,}\\{x \ne 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {3;6} \right) \cup \left( {6;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\dfrac{{\left( {{x^2}-7x + 12} \right) \cdot {{\log }_{x-2}}\left( {x-3} \right) \cdot \ln {{\left( {x-6} \right)}^2}}}{{2{x^2}-11x + 14}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {{x^2}-7x + 12} \right) \cdot \ln \left( {x-3} \right)\, \cdot \ln {{\left( {x-6} \right)}^2}}}{{\left( {2{x^2}-11x + 14} \right)\ln \left( {x-2} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {3;6} \right) \cup \left( {6;\infty } \right).\) Найдём нули числителя: \(\left( {{x^2}-7x + 12} \right) \cdot \ln \left( {x-3} \right)\, \cdot \ln {\left( {x-6} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-7x + 12 = 0,}\\{\ln \left( {x-3} \right) = 0,\;\;\;\;\,}\\{\ln {{\left( {x-6} \right)}^2} = 0\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{x = 3,\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{x-3 = 1,\;\;\,\,}\\{{{\left( {x-6} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;\;\,\;\,\;}\\{x = 3,\;\;\,\;\;\,\;}\\{x = 4,\;\;\;\;\,\,\;}\\{x-6 = 1,\;\,}\\{x-6 = -1\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,}\\{x = 3,}\\{x = 7,}\\{x = 5.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(\left( {2{x^2}-11x + 14} \right)\ln \left( {x-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}-11x + 14 = 0,}\\{\ln \left( {x-2} \right) = 0\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,5,\;}\\{x = 2,\;\;\;\;}\\{x-2 = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,5,}\\{x = 2,\;\;\,}\\{x = 3.\;\;\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {3;\;3,5} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {5;\;6} \right) \cup \left( {6;\;7} \right].\) Ответ: \(\left( {3;\;3,5} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {5;\;6} \right) \cup \left( {6;\;7} \right].\) 