60В. Решите неравенство \({\log _2}\left( {0,5x} \right) \ge {\log _{16x}}2 \cdot {\log _4}\left( {16{x^4}} \right)\).
\({\log _2}\left( {0,5x} \right) \ge {\log _{16x}}2 \cdot {\log _4}\left( {16{x^4}} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,5x > 0,}\\{16x > 0,\;}\\{16 \ne 1,\,\,\,\;\,}\\{16{x^4} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\,}\\{x \ne \frac{1}{{16}},}\\{x \ne 0\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;\frac{1}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{16}};\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _2}\left( {0,5x} \right) \ge {\log _{16x}}2 \cdot {\log _4}\left( {16{x^4}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,{\log _2}\frac{x}{2}-\frac{{\frac{1}{2}{{\log }_2}\left( {16{x^4}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {16x} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}x-1-\frac{{\frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}16 + {{\log }_2}{x^4}} \right)}}{{{{\log }_2}16 + {{\log }_2}x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}x-1-\frac{{2 + 2{{\log }_2}\left| x \right|}}{{4 + {{\log }_2}x}} \ge 0.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;\frac{1}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{16}};\infty } \right),\) то \(\left| x \right| = x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \({\log _2}x-1-\frac{{2 + 2{{\log }_2}x}}{{4 + {{\log }_2}x}} \ge 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(t-1-\frac{{2 + 2t}}{{t + 4}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-t + 4t-4-2-2t}}{{t + 4}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} + t-6}}{{t + 4}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {t-2} \right)\left( {t + 3} \right)}}{{t + 4}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < t \le -3\,,}\\{t \ge 2.\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < {{\log }_2}x \le -3\,,}\\{{{\log }_2}x \ge 2\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\frac{1}{{16}} < {{\log }_2}x \le {{\log }_2}\frac{1}{8},}\\{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}4\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{16}} < x \le \frac{1}{8},}\\{x \ge 4\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\frac{1}{{16}};\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;\frac{1}{{16}}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{16}};\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {\frac{1}{{16}};\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\)