61В. Решите неравенство \({\log _x}3 + 2{\log _{3x}}3-6{\log _{9x}}3 \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{9};\;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left[ {{3^{-\frac{2}{3}}};\;1} \right) \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)
\({\log _x}3 + 2{\log _{3x}}3-6{\log _{9x}}3 \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;}\\{x \ne 1,\,\,\,\,}\\{3x > 0,}\\{3x \ne 1,\,}\\{9x > 0,}\\{9x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne 1,\,\,}\\{x > 0,\;}\\{x \ne \dfrac{1}{3},}\\{x > 0,\;}\\{x \ne \dfrac{1}{9}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne 1,\,\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \dfrac{1}{3},}\\{x \ne \dfrac{1}{9}\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;\dfrac{1}{9}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3};1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _x}3 + 2{\log _{3x}}3-6{\log _{9x}}3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + \dfrac{2}{{{{\log }_3}\left( {3x} \right)}}-\dfrac{6}{{{{\log }_3}\left( {9x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;\,\dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + \dfrac{2}{{1 + {{\log }_3}x}}-\dfrac{6}{{2 + {{\log }_3}x}} \le 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{1}{t} + \dfrac{2}{{1 + t}}-\dfrac{6}{{2 + t}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 2t + t + 2 + 2{t^2} + 4t-6{t^2}-6t}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{-3{t^2} + t + 2}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {t-1} \right)\left( {t + \dfrac{2}{3}} \right)}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < t < -1,}\\{-\dfrac{2}{3} \le t < 0,\,}\\{t \ge 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < {{\log }_3}x < -1,}\\{-\dfrac{2}{3} \le {{\log }_3}x < 0,\,}\\{{{\log }_3}x \ge 1\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\dfrac{1}{9} < {{\log }_3}x < {{\log }_3}\dfrac{1}{3},\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}{3^{-\dfrac{2}{3}}} \le {{\log }_3}x < {{\log }_3}1,}\\{{{\log }_3}x \ge {{\log }_3}3\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{9} < x < \dfrac{1}{3},\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{-\frac{2}{3}}} \le x < 1,}\\{x \ge 3\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {\dfrac{1}{9};\;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left[ {{3^{-\frac{2}{3}}};\;1} \right) \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;\dfrac{1}{9}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3};1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {\dfrac{1}{9};\;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left[ {{3^{-\frac{2}{3}}};\;1} \right) \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{9};\;\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left[ {{3^{-\frac{2}{3}}};\;1} \right) \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\) 