62В. Решите неравенство \({\log _x}2 + 3{\log _{2x}}2-6{\log _{4x}}2 \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{4};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\;1} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)
\({\log _x}2 + 3{\log _{2x}}2-6{\log _{4x}}2 \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;}\\{x \ne 1,\,\,\,\,}\\{2x > 0,}\\{2x \ne 1,\,}\\{4x > 0,}\\{4x \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne 1,\,\,}\\{x > 0,\;}\\{x \ne \dfrac{1}{2},}\\{x > 0,\;}\\{x \ne \dfrac{1}{4}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne 1,\,\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \dfrac{1}{2},}\\{x \ne \dfrac{1}{4}\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _x}2 + 3{\log _{2x}}2-6{\log _{4x}}2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{3}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}-\dfrac{6}{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;\,\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{3}{{1 + {{\log }_2}x}}-\dfrac{6}{{2 + {{\log }_2}x}} \le 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(\dfrac{1}{t} + \dfrac{3}{{t + 1}}-\dfrac{6}{{t + 2}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 2t + t + 2 + 3{t^2} + 6t-6{t^2}-6t}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{-2{t^2} + 3t + 2}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {t-2} \right)\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right)}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < t < -1,}\\{-\dfrac{1}{2} \le t < 0,\,}\\{t \ge 2.\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < {{\log }_2}x < -1,}\\{-\dfrac{1}{2} \le {{\log }_2}x < 0,\,}\\{{{\log }_2}x \ge 2\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\dfrac{1}{4} < {{\log }_2}x < {{\log }_2}\dfrac{1}{2},\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}{2^{-\dfrac{1}{2}}} \le {{\log }_2}x < {{\log }_2}1,}\\{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}4\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{4} < x < \dfrac{1}{2},\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le x < 1,}\\{x \ge 4\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {\dfrac{1}{4};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\;1} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {\dfrac{1}{4};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\;1} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{4};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left[ {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\;1} \right) \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\) 