63В. Решите неравенство \(\log _2^2\left( {3x-1} \right) + \log _{3x-1}^22-{\log _2}{\left( {3x-1} \right)^2}-{\log _{3x-1}}4 + 2 \le 0\).
ОТВЕТ: \(1.\)
\(\log _2^2\left( {3x-1} \right) + \log _{3x-1}^22-{\log _2}{\left( {3x-1} \right)^2}-{\log _{3x-1}}4 + 2 \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-1 > 0,\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {3x-1} \right)}^2} > 0,}\\{3x-1 \ne 1\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-1 > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{3x-1 \ne 0,}\\{3x-1 \ne 1\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \dfrac{1}{3},}\\{x \ne \dfrac{2}{3}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{3};\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \(\log _2^2\left( {3x-1} \right) + \log _{3x-1}^22-{\log _2}{\left( {3x-1} \right)^2}-{\log _{3x-1}}4 + 2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _2^2\left( {3x-1} \right) + \dfrac{1}{{\log _2^2\left( {3x-1} \right)}}-2{\log _2}\left| {3x-1} \right|-\dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {3x-1} \right)}} + 2 \le 0.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{3};\infty } \right),\) то \(\left| {3x-1} \right| = 3x-1.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\log _2^2\left( {3x-1} \right) + \dfrac{1}{{\log _2^2\left( {3x-1} \right)}}-2{\log _2}\left( {3x-1} \right)-\dfrac{2}{{{{\log }_2}\left( {3x-1} \right)}} + 2 \le 0.\) Пусть \({\log _2}\left( {3x-1} \right) = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \({t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}-2t-\dfrac{2}{t} + 2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}-2\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + 2 \le 0.\) Пусть \(t + \dfrac{1}{t} = y.\) Тогда \({t^2} + 2t \cdot \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{{t^2}}} = {y^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,{t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}} = {y^2}-2.\) Последнее неравенство примет вид: \({y^2}-2-2y + 2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{y^2}-2y \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;y\left( {y-2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 \le y \le 2.\) Вернёмся к переменной \(t:\) \(0 \le t + \dfrac{1}{t} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + \dfrac{1}{t} \ge 0,}\\{t + \dfrac{1}{t} \le 2}\end{array}} \right.\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{t^2} + 1}}{t} \ge 0,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\dfrac{{{t^2}-2t + 1}}{t} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\dfrac{{{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{t} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 1.\) Вернёмся к исходной переменной: \({\log _2}\left( {3x-1} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x-1 = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 1.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{3};\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x = 1.\) Ответ: \(1.\)