64В. Решите неравенство \(\log _2^2\left( {3x + 1} \right) + \log _{3x + 1}^22-2{\log _2}{\left( {3x + 1} \right)^2}-2{\log _{3x + 1}}4 + 6 \le 0\).
ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{3}.\)
\(\log _2^2\left( {3x + 1} \right) + \log _{3x + 1}^22-2{\log _2}{\left( {3x + 1} \right)^2}-2{\log _{3x + 1}}4 + 6 \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 1 > 0,\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {3x + 1} \right)}^2} > 0,}\\{3x + 1 \ne 1\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 1 > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 1 \ne 0,}\\{3x + 1 \ne 1\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\dfrac{1}{3},}\\{x \ne 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,x\, \in \,\left( {-\dfrac{1}{3};0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \(\log _2^2\left( {3x + 1} \right) + \log _{3x + 1}^22-2{\log _2}{\left( {3x + 1} \right)^2}-2{\log _{3x + 1}}4 + 6 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _2^2\left( {3x + 1} \right) + \dfrac{1}{{\log _2^2\left( {3x + 1} \right)}}-4{\log _2}\left| {3x + 1} \right|-\dfrac{4}{{{{\log }_2}\left( {3x + 1} \right)}} + 6 \le 0.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {-\dfrac{1}{3};0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),\) то \(\left| {3x + 1} \right| = 3x + 1.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\log _2^2\left( {3x + 1} \right) + \dfrac{1}{{\log _2^2\left( {3x + 1} \right)}}-4{\log _2}\left( {3x + 1} \right)-\dfrac{4}{{{{\log }_2}\left( {3x + 1} \right)}} + 6 \le 0.\) Пусть \({\log _2}\left( {3x + 1} \right) = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \({t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}-4t-\dfrac{4}{t} + 6 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}-4\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + 6 \le 0.\) Пусть \(t + \dfrac{1}{t} = y.\) Тогда \({t^2} + 2t \cdot \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{{t^2}}} = {y^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,{t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}} = {y^2}-2.\) Последнее неравенство примет вид: \({y^2}-2-4y + 6 \le 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{y^2}-4y + 4 \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {y-2} \right)^2} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,y = 2.\) Вернёмся к переменной \(t:\) \(t + \dfrac{1}{t} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 1.\) Вернёмся к исходной переменной: \({\log _2}\left( {3x + 1} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x + 1 = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{1}{3}.\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {-\dfrac{1}{3};0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x = \dfrac{1}{3}.\) Ответ: \(\dfrac{1}{3}.\)