65В. Решите неравенство \({\log _{3x}}\frac{1}{{27}} \cdot {\log _3}\left( {27x} \right) + 9 \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{3}} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)
\({\log _{3x}}\frac{1}{{27}} \cdot {\log _3}\left( {27x} \right) + 9 \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x > 0,\,\,}\\{3x \ne 1,\,\,\,}\\{27x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne \frac{1}{3},}\\{x > 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \({\log _{3x}}\frac{1}{{27}} \cdot {\log _3}\left( {27x} \right) + 9 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_3}\frac{1}{{27}} \cdot {{\log }_3}\left( {27x} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {3x} \right)}} + 9 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{-3\left( {{{\log }_3}27 + {{\log }_3}x} \right)}}{{{{\log }_3}3 + {{\log }_3}x}} + 9 \ge 0\,\,\left| {\,:\left( {-3} \right) < 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3 + {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}}-3 \le 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(\frac{{3 + t}}{{1 + t}}-3 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3 + t-3-3t}}{{t + 1}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2t}}{{t + 1}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -1,}\\{t \ge 0.\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < -1,}\\{{{\log }_3}x \ge 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x < {{\log }_3}\frac{1}{3},}\\{{{\log }_3}x \ge {{\log }_3}1\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \frac{1}{3},}\\{x \ge 1\,\,\,\,\,\,\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {0;\;\frac{1}{3}} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;\frac{1}{3}} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)