66В. Решите неравенство \({\log _{2x}}0,25 \le {\log _2}\left( {32x} \right)-1\).
\({\log _{2x}}0,25 \le {\log _2}\left( {32x} \right)-1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x > 0,\,\,}\\{2x \ne 1,\,\,\,}\\{32x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;}\\{x \ne \frac{1}{2},}\\{x > 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \({\log _{2x}}0,25 \le {\log _2}\left( {32x} \right)-1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_2}0,25}}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}-\left( {{{\log }_2}32 + {{\log }_2}x} \right) + 1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;-\frac{2}{{{{\log }_2}2 + {{\log }_2}x}}-{\log _2}x-5 + 1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} + {\log _2}x + 4 \ge 0.\) Пусть \({\log _2}x = t.\) Тогда последнее неравенство примет вид: \(\frac{2}{{1 + t}} + t + 4 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} + 5t + 6}}{{t + 1}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {t + 3} \right)\left( {t + 2} \right)}}{{t + 1}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, решением полученного неравенства является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le t \le -2,}\\{t > -1.\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le {{\log }_2}x \le -2,}\\{{{\log }_2}x > -1\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\frac{1}{8} \le {{\log }_2}x \le {{\log }_2}\frac{1}{4},}\\{{{\log }_2}x > {{\log }_2}\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{8} \le x \le \frac{1}{4},}\\{x > \frac{1}{2}\;\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {\frac{1}{8};\;\frac{1}{4}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};\;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\frac{1}{8};\;\frac{1}{4}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {\frac{1}{8};\;\frac{1}{4}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};\;\infty } \right).\)
