69В. Решите неравенство \(\left| {{{\log }_x}\frac{x}{4}} \right| \cdot {\log _{4x}}\left( {2{x^2}} \right) \le \left| {{{\log }_x}\frac{x}{4}} \right|\).
\(\left| {{{\log }_x}\frac{x}{4}} \right| \cdot {\log _{4x}}\left( {2{x^2}} \right) \le \left| {{{\log }_x}\frac{x}{4}} \right|.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\,}\\{x \ne 1,\;\;\;\;}\\{\frac{x}{4} > 0,\,\;\;}\\{4x > 0,\;\,}\\{4x \ne 1,\;\;}\\{2{x^2} > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\,\,}\\{x \ne 1,\;\,}\\{x > 0,\,\,}\\{x > 0,\,\,}\\{x \ne \frac{1}{4},}\\{x \ne 0\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,}\\{x \ne 1,\,}\end{array}}\\{x \ne \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) \(\left| {{{\log }_x}\frac{x}{4}} \right| \cdot {\log _{4x}}\left( {2{x^2}} \right) \le \left| {{{\log }_x}\frac{x}{4}} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {{{\log }_x}\frac{x}{4}} \right|\left( {{{\log }_{4x}}\left( {2{x^2}} \right)-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_x}\frac{x}{4} = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{\log }_{4x}}\left( {2{x^2}} \right)-1 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{4} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{{{\log }_{4x}}\left( {2{x^2}} \right) \le {{\log }_{4x}}\left( {4x} \right).}\end{array}} \right.\) Неравенство совокупности вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{4x}}\left( {2{x^2}} \right) \le {\log _{4x}}\left( {4x} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {4x-1} \right)\left( {2{x^2}-4x} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {4x-1} \right)x\left( {2x-4} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{4};2} \right].\) С учётом ОДЗ \(x\, \in \,\left( {0;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\) решение последнего неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {\frac{1}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\) Тогда: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{4} = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{{{\log }_{4x}}\left( {2{x^2}} \right) \le {{\log }_{4x}}\left( {4x} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {\frac{1}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right]}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\,\;x\, \in \,\left( {\frac{1}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right] \cup \left\{ 4 \right\}.\) Ответ: \(\left( {\frac{1}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right] \cup \left\{ 4 \right\}.\)