7В. Решите неравенство \(\left( {4x-7} \right) \cdot {\log _{{x^2}-4x + 5}}\left( {3x-5} \right) \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{5}{3};\;\dfrac{7}{4}} \right] \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)
\(\left( {4x-7} \right) \cdot {\log _{{x^2}-4x + 5}}\left( {3x-5} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-5 > 0,\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2}-4x + 5 > 0,}\\{{x^2}-4x + 5 \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-5 > 0,\;\;}\\{x \in R,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {x-2} \right)}^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \dfrac{5}{3},}\\{x \ne 2\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{5}{3};2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\left( {4x-7} \right) \cdot {\log _{{x^2}-4x + 5}}\left( {3x-5} \right) \ge 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {4x-7} \right) \cdot {{\log }_2}\left( {3x-5} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2}-4x + 5} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {\dfrac{5}{3};2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Найдём нули числителя: \(\left( {4x-7} \right) \cdot {\log _2}\left( {3x-5} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x-7 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_2}\left( {3x-5} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{7}{4},\;\;\;\;}\\{3x-5 = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{7}{4},}\\{x = 2.\;}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({\log _2}\left( {{x^2}-4x + 5} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-4x + 5 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\,\,{\left( {x-2} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{5}{3};\;\dfrac{7}{4}} \right] \cup \left( {2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{5}{3};\;\dfrac{7}{4}} \right] \cup \left( {2;\;\infty } \right).\) 