71В. Решите неравенство \({\log _x}\left( {\sqrt {{x^2} + x-2} + 1} \right) \cdot {\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \le {\log _x}3\).
ОТВЕТ: \(\left( {1;\;2} \right].\)
\({\log _x}\left( {\sqrt {{x^2} + x-2} + 1} \right) \cdot {\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \le {\log _x}3.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sqrt {{x^2} + x-2} + 1 > 0,}\\{{x^2} + x-2 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + x + 1 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 1,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sqrt {{x^2} + x-2} > -1,\;}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0,}\\{{x^2} + x + 1 > 0\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right),}\\{x \in R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {1;\infty } \right).\) Разделим обе части исходного неравенства на \({\log _x}3,\) значение которого при \(x \in \left( {1;\infty } \right)\) больше нуля. При этом знак неравенства не поменяется. \({\log _x}\left( {\sqrt {{x^2} + x-2} + 1} \right) \cdot {\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \le {\log _x}3\;\left| {\,:} \right.\;{\log _x}3 > 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_x}\left( {\sqrt {{x^2} + x-2} + 1} \right)}}{{{{\log }_x}3}} \cdot {\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \le 1.\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\dfrac{{{{\log }_x}\left( {\sqrt {{x^2} + x-2} + 1} \right)}}{{{{\log }_x}3}} \cdot {\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {\sqrt {{x^2} + x-2} + 1} \right) \cdot {\log _7}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \le 1.\) Пусть \({x^2} + x = t,\) где \(t \ge 2.\) Тогда неравенство примет вид: \({\log _3}\left( {\sqrt {t-2} + 1} \right) \cdot {\log _7}\left( {t + 1} \right) \le 1.\) Заметим, что функции \({y_1} = {\log _3}\left( {\sqrt {t-2} + 1} \right)\) и \({y_2} = {\log _7}\left( {t + 1} \right)\) при \(t \ge 2\) являются возрастающими и их значения неотрицательные. Следовательно, левая часть последнего неравенства является функцией возрастающей и значение, равное 1, достигается при \(t = 6.\) Поэтому его решение будет иметь вид: \(2 \le t \le 6.\) Вернёмся к прежней переменной: \(2 \le {x^2} + x \le 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x \ge 2,}\\{{x^2} + x \le 6\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-2 \ge 0,}\\{{x^2} + x-6 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0,}\\{\left( {x-2} \right)\left( {x + 3} \right) \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right),}\\{x \in \left[ {-3;2} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-3;-2} \right] \cup \left[ {1;2} \right].\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {1;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left( {1;\;2} \right].\) Ответ: \(\left( {1;\;2} \right].\)