72В. Решите неравенство \({\log _x}\left( {\sqrt {{x^2} + 2x-3} + 2} \right) \cdot {\log _5}\left( {{x^2} + 2x-2} \right) \ge {\log _x}4\).
ОТВЕТ: \(\left[ {2\sqrt 2 -1;\;\infty } \right).\)
\({\log _x}\left( {\sqrt {{x^2} + 2x-3} + 2} \right) \cdot {\log _5}\left( {{x^2} + 2x-2} \right) \ge {\log _x}4.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\sqrt {{x^2} + 2x-3} + 2 > 0,}\\{{x^2} + 2x-3 \ge 0,\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{{x^2} + 2x-2 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne 1,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\sqrt {{x^2} + 2x-3} > -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 3} \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-\left( {-1-\sqrt 3 } \right)} \right)\left( {x-\left( {-1 + \sqrt 3 } \right)} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-3} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-1-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {-1 + \sqrt 3 ;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{x \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {1;\infty } \right).\) Разделим обе части исходного неравенства на \({\log _x}4,\) значение которого при \(x \in \left( {1;\infty } \right)\) больше нуля. При этом знак неравенства не поменяется. \({\log _x}\left( {\sqrt {{x^2} + 2x-3} + 2} \right) \cdot {\log _5}\left( {{x^2} + 2x-2} \right) \ge {\log _x}4\;\left| {\,:} \right.\;{\log _x}4 > 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_x}\left( {\sqrt {{x^2} + 2x-3} + 2} \right)}}{{{{\log }_x}4}} \cdot {\log _5}\left( {{x^2} + 2x-2} \right) \ge 1.\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\dfrac{{{{\log }_x}\left( {\sqrt {{x^2} + 2x-3} + 2} \right)}}{{{{\log }_x}4}} \cdot {\log _5}\left( {{x^2} + 2x-2} \right) \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}\left( {\sqrt {{x^2} + 2x-3} + 2} \right) \cdot {\log _5}\left( {{x^2} + 2x-2} \right) \ge 1.\) Пусть \({x^2} + 2x = t,\) где \(t \ge 3.\) Тогда неравенство примет вид: \({\log _4}\left( {\sqrt {t-3} + 2} \right) \cdot {\log _5}\left( {t-2} \right) \ge 1.\) Заметим, что функции \({y_1} = {\log _4}\left( {\sqrt {t-3} + 2} \right)\) и \({y_2} = {\log _5}\left( {t-2} \right)\) при \(t \ge 3\) являются возрастающими и их значения неотрицательные. Следовательно, левая часть последнего неравенства является функцией возрастающей и значение, равное 1, достигается при \(t = 7.\) Поэтому его решение будет иметь вид: \(t \ge 7.\) Вернёмся к прежней переменной: \({x^2} + 2x-7 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-\left( {-1-2\sqrt 2 } \right)} \right)\left( {x-\left( {-1 + 2\sqrt 2 } \right)} \right) \ge 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1-2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {-1 + 2\sqrt 2 ;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {1;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left[ {2\sqrt 2 -1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {2\sqrt 2 -1;\;\infty } \right).\)