73В. Решите неравенство \({\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{{25}^x}-{9^x}} \right) < {\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{5^x} + {3^x}} \right) + {\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{5^{x-1}} + {3^{x-1}}} \right)\).
\({\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{{25}^x}-{9^x}} \right) < {\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{5^x} + {3^x}} \right) + {\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{5^{x-1}} + {3^{x-1}}} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {3x-3} \right| > 0,\;\;\;\,}\\{\left| {3x-3} \right| \ne 1,\;\;\;\;}\\{{{25}^x}-{9^x} > 0,\;\,}\\{{5^x} + {3^x} > 0,\;\;\;\,}\\{{5^{x-1}} + {3^{x-1}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{3x-3 \ne \pm 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{5^{2x}}-{3^{2x}} > 0\;\left| {\,:\,{3^{2x}} > 0} \right.,}\\{{5^x} + {3^x} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{5^{x-1}} + {3^{x-1}} > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3x-3 \ne 1,\;\;\;\;3x-3 \ne -1,}\\{{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^{2x}}-1 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne \frac{4}{3},\;\;\;\;x \ne \frac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {\frac{2}{3};1} \right) \cup \left( {1;\frac{4}{3}} \right) \cup \left( {\frac{4}{3};\infty } \right).\) \({\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{{25}^x}-{9^x}} \right) < {\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{5^x} + {3^x}} \right) + {\log _{\left| {\,3x-3\,} \right|}}\left( {{5^{x-1}} + {3^{x-1}}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{\left| {3x-3} \right|}}\left( {{5^x}-{3^x}} \right)\left( {{5^x} + {3^x}} \right) < {\log _{\left| {3x-3} \right|}}\left( {\left( {{5^x} + {3^x}} \right) \cdot \left( {{{\frac{5}{5}}^x} + {{\frac{3}{3}}^x}} \right)} \right).\) Неравенство совокупности вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \({\log _{\left| {3x-3} \right|}}\left( {{5^x}-{3^x}} \right)\left( {{5^x} + {3^x}} \right) < {\log _{\left| {3x-3} \right|}}\left( {\left( {{5^x} + {3^x}} \right) \cdot \left( {{{\frac{5}{5}}^x} + {{\frac{3}{3}}^x}} \right)} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\left( {\left| {3x-3} \right|-1} \right)\left( {\left( {{5^x}-{3^x}} \right)\left( {{5^x} + {3^x}} \right)-\left( {{5^x} + {3^x}} \right)\left( {{{\frac{5}{5}}^x} + {{\frac{3}{3}}^x}} \right)} \right) < 0\;\left| {\,:} \right.\left( {{5^x} + {3^x}} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\left| {3x-3} \right|-1} \right)\left( {{5^x}-{3^x}-{{\frac{5}{5}}^x}-{{\frac{3}{3}}^x}} \right) < 0\;\left| {\, \cdot 15} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\left| {3x-3} \right|-1} \right)\left( {15 \cdot {5^x}-15 \cdot {3^x}-3 \cdot {5^x}-5 \cdot {3^x}} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\left| {3x-3} \right|-1} \right)\left( {12 \cdot {5^x}-20 \cdot {3^x}} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {\left| {3x-3} \right|-1} \right)\left( {12 \cdot {5^x}-20 \cdot {3^x}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {3x-3} \right|-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{12 \cdot {5^x} = 20 \cdot {3^x}\;\left| {:\left( {12 \cdot {3^x}} \right)} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x-3 = \pm 1,\;\,}\\{{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^1}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{4}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{2}{3},}\\{x = 1.\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {1;\frac{4}{3}} \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {1;\frac{4}{3}} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {1;\frac{4}{3}} \right).\)
