74В. Решите неравенство \(\left( {{{\log }_{\left| {\,x + 0,5\,} \right|}}\left( {0,25-x} \right)-1} \right) \cdot {\log _{16}}\left( {0,25-x} \right) > {\log _4}\dfrac{{0,25-x}}{{\left| {\,x + 0,5\,} \right|}}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-2;\,\,-1,5} \right) \cup \left( {-0,125;\,\,0} \right).\)
\(\left( {{{\log }_{\left| {\,x + 0,5\,} \right|}}\left( {0,25-x} \right)-1} \right) \cdot {\log _{16}}\left( {0,25-x} \right) > {\log _4}\dfrac{{0,25-x}}{{\left| {\,x + 0,5\,} \right|}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 0,5} \right| > 0,\;}\\{\left| {x + 0,5} \right| \ne 1,\;}\\{0,25-x > 0,}\\{\dfrac{{0,25-x}}{{\left| {x + 0,5} \right|}} > 0\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -0,5,}\\{x \ne 0,5,\;\;}\\{x \ne -1,5,}\\{x < 0,25\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.x\, \in \,\left( {-\infty ;-1,5} \right) \cup \left( {-1,5;-0,5} \right) \cup \left( {-0,5;0,25} \right).\) \(\left( {{{\log }_{\left| {\,x + 0,5\,} \right|}}\left( {0,25-x} \right)-1} \right) \cdot {\log _{16}}\left( {0,25-x} \right) > {\log _4}\dfrac{{0,25-x}}{{\left| {\,x + 0,5\,} \right|}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_{\left| {x + 0,5} \right|}}\left( {0,25-x} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)-{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)} \right) > {\log _4}\left( {0,25-x} \right)-{\log _4}\left| {x + 0,5} \right|.\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_{\left| {x + 0,5} \right|}}\left( {0,25-x} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)-{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)} \right) > {\log _4}\left( {0,25-x} \right)-{\log _4}\left| {x + 0,5} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)}}{{{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|}}-{\log _4}\left( {0,25-x} \right)-2{\log _4}\left( {0,25-x} \right) + 2{\log _4}\left| {x + 0,5} \right| > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\log _4^2\left( {0,25-x} \right)-3{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right) \cdot {{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right| + 2\log _4^2\left| {x + 0,5} \right|}}{{{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{\left( {{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)-{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|} \right)\left( {{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)-2{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|} \right)}}{{{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|}} > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов на ОДЗ. Найдём нули числителя: \(\left( {{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)-{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|} \right)\left( {{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right)-2{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right) = {{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|,\;}\\{{{\log }_4}\left( {0,25-x} \right) = 2{{\log }_4}\left| {x + 0,5} \right|}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,25-x = \left| {x + 0,5} \right|,\;\,}\\{0,25-x = {{\left( {x + 0,5} \right)}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 0,5 = 0,25-x,\;\;}\\{x + 0,5 = -0,25 + x,}\\{{x^2} + 2x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -0,125,\;}\\{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x\left( {x + 2} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -0,125,}\\{x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = -2.\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({\log _4}\left| {x + 0,5} \right| = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 0,5 = 1,\;\,}\\{x + 0,5 = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,5,\;\,}\\{x = -1,5.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-2;\,\,-1,5} \right) \cup \left( {-0,125;\,\,0} \right).\) Ответ: \(\left( {-2;\,\,-1,5} \right) \cup \left( {-0,125;\,\,0} \right).\) 