75В. Решите неравенство \({\log _x}3 \cdot {\log _9}\frac{{5-12x}}{{12x-8}} \le \frac{1}{2}\).
\({\log _x}3 \cdot {\log _9}\frac{{5-12x}}{{12x-8}} \le \frac{1}{2}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\frac{{5-12x}}{{12x-8}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{x\, \in \,\left( {\frac{5}{{12}};\frac{2}{3}} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{5}{{12}};\frac{2}{3}} \right).\) Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \({\log _x}3 \cdot {\log _9}\frac{{5-12x}}{{12x-8}} \le \frac{1}{2}\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\log }_3}\frac{{5-12x}}{{12x-8}}}}{{{{\log }_3}x}} \le \frac{1}{2}.\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\log }_3}\frac{{5-12x}}{{12x-8}}}}{{{{\log }_3}x}} \le \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _x}\frac{{5-12x}}{{12x-8}} \le {\log _x}x.\) Неравенство совокупности вида \({\log _{a\left( x \right)}}f\left( x \right) > {\log _{a\left( x \right)}}g\left( x \right)\) равносильно неравенству \(\left( {a\left( x \right)-1} \right)\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right) > 0\) на ОДЗ исходного неравенства. \(\left( {x-1} \right)\left( {\frac{{5-12x}}{{12x-8}}-x} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {5-12x-12{x^2} + 8x} \right)}}{{12x-8}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {-12{x^2}-4x + 5} \right)}}{{12x-8}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-1} \right)\left( {x-\frac{1}{2}} \right)\left( {x + \frac{5}{6}} \right)}}{{12x-8}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-\frac{5}{6}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};\frac{2}{3}} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\frac{1}{2};\,\,\frac{2}{3}} \right).\) Ответ: \(\left[ {\frac{1}{2};\,\,\frac{2}{3}} \right).\)
