8В. Решите неравенство \(\left( {4x + 13} \right) \cdot {\log _{{x^2} + 6x + 10}}\left( {3x + 10} \right) \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{{10}}{3};\;-\dfrac{{13}}{4}} \right] \cup \left( {-3;\;\infty } \right).\)
\(\left( {4x + 13} \right) \cdot {\log _{{x^2} + 6x + 10}}\left( {3x + 10} \right) \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 10 > 0,\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2} + 6x + 10 > 0,}\\{{x^2} + 6x + 10 \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 10 > 0,}\\{x \in R,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {x + 3} \right)}^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -\dfrac{{10}}{3},}\\{x \ne -3\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\dfrac{{10}}{3};-3} \right) \cup \left( {-3;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством перехода к новому основанию: \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.\) \(\left( {4x + 13} \right) \cdot {\log _{{x^2} + 6x + 10}}\left( {3x + 10} \right) \ge 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {4x + 13} \right) \cdot {{\log }_2}\left( {3x + 10} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + 6x + 10} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {-\dfrac{{10}}{3};-3} \right) \cup \left( {-3;\infty } \right).\) Найдём нули числителя: \(\left( {4x + 13} \right) \cdot {\log _2}\left( {3x + 10} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 13 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_2}\left( {3x + 10} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{{13}}{4},\;\;}\\{3x + 10 = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{{13}}{4},}\\{x = -3.\;\,\;}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({\log _2}\left( {{x^2} + 6x + 10} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 6x + 10 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\,\,{\left( {x + 3} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -3.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(\left( {-\dfrac{{10}}{3};\;-\dfrac{{13}}{4}} \right] \cup \left( {-3;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\dfrac{{10}}{3};\;-\dfrac{{13}}{4}} \right] \cup \left( {-3;\;\infty } \right).\) 