9В. Решите неравенство \({\log _{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{x + \frac{1}{3}}}}}{5^{\frac{4}{{{x^2} + 3x}}}} \le \dfrac{6}{{3x + 1}}\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-4;\;-3} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{3};\;0} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)
\({\log _{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{x + \frac{1}{3}}}}}{5^{\frac{4}{{{x^2} + 3x}}}} \le \dfrac{6}{{3x + 1}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\frac{4}{{{x^2} + 3x}}}} > 0,\;\;\,\;}\\{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{x + \frac{1}{3}}} > 0,}\\{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{x + \frac{1}{3}}} \ne 1,\,}\\{3x + 1 \ne 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x \ne 0,}\\{x + \dfrac{1}{3} \ne 0,\;\;\,}\end{array}}\\{x \ne -\dfrac{1}{3}\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x + 3} \right) \ne 0,}\\{x \ne -\dfrac{1}{3},\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\\{x \ne -\dfrac{1}{3}\;\;\;\,\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;}\\{x \ne -3,}\end{array}}\\{x \ne -\dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {-3;-\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{3};0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) \({\log _{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{x + \frac{1}{3}}}}}{5^{\frac{4}{{{x^2} + 3x}}}} \le \dfrac{6}{{3x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\dfrac{4}{{{x^2} + 3x}}}}{{x + \dfrac{1}{3}}}{\log _{\sqrt 5 }}5 \le \dfrac{6}{{3x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{24}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x} \right)}} \le \dfrac{6}{{3x + 1}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\dfrac{{24-6{x^2}-18x}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x} \right)}} \le 0\left| {:-6} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\dfrac{{{x^2} + 3x-4}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x} \right)}} \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)x\left( {x + 3} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {-4;\;-3} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{3};\;0} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {-3;-\dfrac{1}{3}} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{3};0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left[ {-4;\;-3} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{3};\;0} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-4;\;-3} \right) \cup \left( {-\dfrac{1}{3};\;0} \right) \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\) 