А – кредит сроком на 24 месяца под r% в месяц.
Долг в течение 24 месяцев уменьшается равномерно, то есть на \(\frac{A}{{24}}\).
| Месяц |
Начисленные % |
Остаток |
| 1 |
\(A \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(A — \frac{A}{{24}} = \frac{{23A}}{{24}}\) |
| 2 |
\(\)\(\frac{{23A}}{{24}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{{23A}}{{24}} — \frac{A}{{24}} = \frac{{22A}}{{24}}\) |
| ….. |
…… |
…… |
| 12 |
\(\frac{{13A}}{{24}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{{13A}}{{24}} — \frac{A}{{24}} = \frac{{12A}}{{24}}\) |
| 13 |
\(\frac{{12A}}{{24}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{{12A}}{{24}} — \frac{A}{{24}} = \frac{{11A}}{{24}}\) |
| …… |
……. |
…… |
| 24 |
\(\frac{A}{{24}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
0 |
Выплаты за первый год: \(12 \cdot \frac{A}{{24}} + \frac{r}{{100}} \cdot \frac{{A + \frac{{13A}}{{24}}}}{2} \cdot 12 = \frac{A}{2} + \frac{{37A \cdot r}}{{400}}.\)
Выплаты за второй год: \(12 \cdot \frac{A}{{24}} + \frac{r}{{100}} \cdot \frac{{\frac{{12A}}{{24}} + \frac{A}{{24}}}}{2} \cdot 12 = \frac{A}{2} + \frac{{13A \cdot r}}{{400}}.\)
\(\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{A}{2} + \frac{{37Ar}}{{400}} — 100\% }\\{\frac{A}{2} + \frac{{13Ar}}{{400}} — 80\% }\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,0,8\left( {\frac{A}{2} + \frac{{37Ar}}{{400}}} \right)\,\,\, > \,\,\frac{A}{2} + \frac{{13Ar}}{{400}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{0,8 \cdot 37 \cdot A \cdot r}}{{400}} — \frac{{13Ar}}{{400}}\,\,\, > \,\,\frac{A}{2} — 0,8\frac{A}{2}\,\,\left| {\,:} \right.\,A\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{16,6r}}{{400}}\,\, > \,\,0,1\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,r\,\, > \,\,\frac{{400}}{{166}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r\,\, > \,\,\frac{{200}}{{83}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r\,\, > \,\,2\frac{{34}}{{83}}\,.\)
Так как r целое и наименьшее, то r = 3%.
Ответ: 3.