102В. Гражданин Гусев взял кредит в банке, рассчитывая погасить долг равными ежегодными платежами, каждый из которых (кроме, возможно, последнего) составляет половину суммы S, взятой в кредит. Схема выплата кредита следующая: в конце каждого года банк увеличивает на 25% оставшуюся сумму долга, а затем гражданин Гусев переводит в банк очередной платеж. После двух лет выплат банк снизил процентную ставку до 20% годовых, и гражданин Гусев внес третий платеж. Четвертым платежом долг был погашен полностью. Сколько процентов от первоначальной суммы S составлял четвертый платеж по кредиту гражданина Гусева?

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

S – кредит сроком на 4 года. Первые 2 года остаток кредита увеличивается в 1,25 раза, а 3-й и 4-й в 1,2 раза. Первые 3 выплаты \(\frac{S}{2}\), а последняя х.

Год Долг после начисления процентов Выплата  Остаток после выплаты
1 \(\frac{5}{4}S\) \(\frac{1}{2}S\) \(\frac{5}{4}S — \frac{1}{2}S = \frac{3}{4}S\)
2 \(\frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4}S\) \(\frac{1}{2}S\) \(\frac{{15}}{{16}}S — \frac{1}{2}S = \frac{7}{{16}}S\)
3 \(\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{{16}}S\) \(\frac{1}{2}S\) \(\frac{{21}}{{40}}S — \frac{1}{2}S = \frac{1}{{40}}S\)
4 \(\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{{40}}S\) x \(\frac{3}{{100}}S — x = 0\)

Так как \(x = \frac{3}{{100}}S\), то четвертый платеж составляет 3% от первоначальной суммы S.

Ответ: 3.