104В. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 21.

Решение

А = 600 тысяч рублей кредит сроком на n+1 месяц.  Пусть первые n месяцев долг уменьшался на х тысяч рублей.

Месяц Начисленные % (тыс. руб) Остаток (тыс. руб)
1 \(A \cdot \frac{3}{{100}}\) \(A — x\)
2 \(\)\(\left( {A — x} \right) \cdot \frac{3}{{100}}\) \(A — 2x\)
… … …
n \(\left( {A — \left( {n — 1} \right)x} \right) \cdot \frac{3}{{100}}\) \(A — nx = 200\)
n+1 \(\left( {A — nx} \right) \cdot \frac{3}{{100}}\) 0

Так как общая сумма выплаченная банку равна 852 тысячи рублей, то переплата, то есть начисленные проценты, равна: \(852 — 600 = 252\) тыс. рублей.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A \cdot \frac{3}{{100}} + \left( {A — x} \right) \cdot \frac{3}{{100}} + … + \left( {A — nx} \right) \cdot \frac{3}{{100}} = 252;}\\{A — nx = 200.}\end{array}} \right.\)

Из первого уравнения:   \(\frac{3}{{100}} \cdot \frac{{A + A — nx}}{2} \cdot \left( {n + 1} \right) = 252\). Так как \(A — nx = 200,\) то:

\(\left( {A + 200} \right)\left( {n + 1} \right) = 16800\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {600 + 200} \right)\left( {n + 1} \right) = 16800\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,n = 20.\)

Следовательно, кредит был взят на \(n + 1 = 21\) месяц.

Ответ: 21.