А – кредит сроком на 12 лет под r % годовых. Так как долг уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, то эта сумма равна \(\frac{A}{{12}}\). Следовательно, ежегодные выплаты равны \(\frac{A}{{12}}\) плюс начисленные проценты на остаток.
| Год |
Начисленные % |
Выплата |
Остаток |
| 1 |
\(A \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{12}} + A \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(A — \frac{A}{{12}} = \frac{{11A}}{{12}}\) |
| 2 |
\(\frac{{11A}}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{12}} + \frac{{11A}}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{{11A}}{{12}} — \frac{A}{{12}} = \frac{{10A}}{{12}}\) |
| … |
… |
… |
… |
| 12 |
\(\frac{A}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{12}} + \frac{A}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{12}} — \frac{A}{{12}} = 0\) |
Наибольшая выплата первая: \(\frac{A}{{12}} + A \cdot \frac{r}{{100}}\).
Наименьшая выплата последняя: \(\frac{A}{{12}} + \frac{A}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}\).
Следовательно:
\(\frac{A}{{12}} + A \cdot \frac{r}{{100}} = 2 \cdot \left( {\frac{A}{{12}} + \frac{A}{{12}} \cdot \frac{r}{{100}}} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{A}{{12}} \cdot \left( {1 + \frac{{12r}}{{100}}} \right) = 2 \cdot \frac{A}{{12}} \cdot \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)\,\,\left| {:\,A} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1 + \frac{{12r}}{{100}} = 2 + \frac{{2r}}{{100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{{10r}}{{100}} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = 10\% .\)
Ответ: 10.