А – кредит сроком на 13 лет под r % годовых. Так как долг уменьшается каждый год на одну и ту же сумму, то эта сумма равна \(\frac{A}{{13}}\). Следовательно, ежегодные выплаты равны \(\frac{A}{{13}}\) плюс начисленные проценты на остаток.
| Год |
Начисленные % |
Выплата |
Остаток |
| 1 |
\(A \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{13}} + A \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(A — \frac{A}{{13}} = \frac{{12A}}{{13}}\) |
| 2 |
\(\frac{{12A}}{{13}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{13}} + \frac{{12A}}{{13}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{{12A}}{{13}} — \frac{A}{{13}} = \frac{{11A}}{{13}}\) |
| … |
… |
… |
… |
| 13 |
\(\frac{A}{{13}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{13}} + \frac{A}{{13}} \cdot \frac{r}{{100}}\) |
\(\frac{A}{{13}} — \frac{A}{{13}} = 0\) |
Наибольшая выплата первая: \(\frac{A}{{13}} + A \cdot \frac{r}{{100}}\).
Наименьшая выплата последняя: \(\frac{A}{{13}} + \frac{A}{{13}} \cdot \frac{r}{{100}}\).
Следовательно:
\(\frac{A}{{13}} + A \cdot \frac{r}{{100}} = 3 \cdot \left( {\frac{A}{{13}} + \frac{A}{{13}} \cdot \frac{r}{{100}}} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{A}{{13}} \cdot \left( {1 + \frac{{13r}}{{100}}} \right) = \frac{A}{{13}} \cdot 3 \cdot \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)\,\,\left| {:\,A} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 + \frac{{13r}}{{100}} = 3 + \frac{{3r}}{{100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{10r}}{{100}} = 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,r = 20\% .\)
Ответ: 20.