116В (ЕГЭ 2021). 15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей;

— 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 400 тыс. рублей.

Решение

А – кредит (в тыс. рублей) сроком на 31 месяц под 2% в месяц. Так как кредит первые 30 месяцев каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину и в конце 30–го месяца составил 100 тысяч рублей, то он уменьшался на \(\frac{{A — 100}}{{30}} = t\) тысяч рублей.

Месяц Начисленные % (тыс. руб) Остаток (тыс. руб)
1 \(A \cdot \frac{2}{{100}}\) \(A — t\)
2 \(\left( {A — t} \right) \cdot \frac{2}{{100}}\) \(A — 2t\)
… … …
30 \(\left( {A — 29t} \right) \cdot \frac{2}{{100}}\) \(A — 30t\)
31 \(\left( {A — 30t} \right) \cdot \frac{2}{{100}}\) 0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (А) плюс начисленные проценты.

\(A + A \cdot \frac{2}{{100}} + \left( {A — t} \right) \cdot \frac{2}{{100}} + … + \left( {A — 30t} \right) \cdot \frac{2}{{100}} = 555\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A + \frac{2}{{100}} \cdot \frac{{A + A — 30t}}{2} \cdot 31 = 555\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A + \frac{1}{{50}} \cdot \left( {A — 15t} \right) \cdot 31 = 555\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,50A + 31A — 15 \cdot 31 \cdot \frac{{A — 100}}{{30}} = 555 \cdot 50\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,81A — \frac{{31}}{2}A + 1550 = 27750\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{131A}}{2} = 26200\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A = 400\)  тысяч рублей.

Ответ: 400 тыс. рублей.