117В (ЕГЭ 2021). 15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й (с января 2025 года по август 2026 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 августа 2026 года долг составит 200 тысяч рублей;

— 15 сентября 2026 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 905 тысяч рублей?

Ответ

ОТВЕТ: 800 тыс. рублей.

Решение

А – кредит (в тыс. рублей) сроком на 21 месяц под 1% в месяц. Так как кредит первые 20 месяцев каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину и в конце 20–го месяца составил 200 тысяч рублей, то он уменьшался на \(\frac{{A — 200}}{{20}} = t\) тысяч рублей.

Месяц Начисленные % (тыс. руб) Остаток (тыс. руб)
1 \(A \cdot \frac{1}{{100}}\) \(A — t\)
2 \(\left( {A — t} \right) \cdot \frac{1}{{100}}\) \(A — 2t\)
… … …
20 \(\left( {A — 19t} \right) \cdot \frac{1}{{100}}\) \(A — 20t\)
21 \(\left( {A — 20t} \right) \cdot \frac{1}{{100}}\) 0

Общая сумма выплат равна сумме кредита (А) плюс начисленные проценты.

\(A + A \cdot \frac{1}{{100}} + \left( {A — t} \right) \cdot \frac{1}{{100}} + … + \left( {A — 20t} \right) \cdot \frac{1}{{100}} = 905\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A + \frac{1}{{100}} \cdot \frac{{A + A — 20t}}{2} \cdot 21 = 905\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A + \frac{1}{{100}} \cdot \left( {A — 10t} \right) \cdot 21 = 905\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,100A + 21A — 10 \cdot 21 \cdot \frac{{A — 200}}{{20}} = 90500\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,121A — \frac{{21}}{2}A + 2100 = 90500\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,110,5A = 88400\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,A = 800\) тысяч рублей.

Ответ: 800 тыс. рублей.