А = 630 тысяч рублей кредит сроком на 5 лет под r % годовых, то есть каждый год остаток долга увеличивается в \(\frac{{100 + r}}{{100}} = 1 + \frac{r}{{100}} = 1 + t\) раз, где \(t = \frac{r}{{100}}\). Пусть х выплата в конце 4–го и 5–го годов.
| Год |
Долг после начисления процентов (тыс. руб) |
Платёж (тыс. руб) |
Остаток после платежа (тыс. руб) |
| 1 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
\(At\) |
А |
| 2 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
\(At\) |
А |
| 3 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
\(At\) |
А |
| 4 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
х |
\(A\left( {1 + t} \right) — x\) |
| 5 |
\(\left( {A\left( {1 + t} \right) — x} \right)\left( {1 + t} \right)\) |
х |
\(\left( {A\left( {1 + t} \right) — x} \right)\left( {1 + t} \right) — x\) |
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3At + 2x = 915;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{A{{\left( {1 + t} \right)}^2} — x\left( {1 + t} \right) — x = 0;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 915 — 3At;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{A\left( {1 + 2t + {t^2}} \right) = x\left( {2 + t} \right).}\end{array}} \right.\)
Из первого уравнения: \(x = \frac{{915 — 3At}}{2}\). Подставим во второе уравнение
\(A\left( {1 + 2t + {t^2}} \right) = \frac{{915 — 3At}}{2} \cdot \left( {2 + t} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1260 + 2520t + 1260{t^2} = 1830 + 915t — 3780t — 1890{t^2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3150{t^2} + 5385t — 570 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,210{t^2} + 359t — 38 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t_1} = \frac{1}{{10}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t_2} = — \frac{{38}}{{21}}.\)
Корень \({t_2} = — \frac{{38}}{{21}}\) не подходит. Следовательно: \(\frac{r}{{100}} = \frac{1}{{10}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,r = 10\% .\)
Ответ: 10.