А = 21 млн рублей кредит сроком на 5 лет под r % годовых, то есть каждый год остаток долга увеличивается в \(\dfrac{{100 + r}}{{100}} = 1 + \dfrac{r}{{100}} = 1 + t\) раз, где \(t = \dfrac{r}{{100}}\). Пусть х млн рублей выплата в конце 4–го и 5–го годов.
| Год |
Долг после начисления процентов (млн руб) |
Платёж (млн руб) |
Остаток после платежа (млн. руб) |
| 1 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
\(At\) |
А |
| 2 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
\(At\) |
А |
| 3 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
\(At\) |
А |
| 4 |
\(A\left( {1 + t} \right)\) |
х |
\(A\left( {1 + t} \right) — x\) |
| 5 |
\(\left( {A\left( {1 + t} \right) — x} \right)\left( {1 + t} \right)\) |
х |
\(\left( {A\left( {1 + t} \right) — x} \right)\left( {1 + t} \right) — x\) |
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3At + 2x = 30,5;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{A{{\left( {1 + t} \right)}^2} — x\left( {1 + t} \right) — x = 0;}\end{array}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 30,5 — 3At;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{A\left( {1 + 2t + {t^2}} \right) = x\left( {2 + t} \right).}\end{array}} \right.} \right.\)
Из первого уравнения: \(x = \dfrac{{30,5 — 3At}}{2}\). Подставим во второе уравнение.
\(A\left( {1 + 2t + {t^2}} \right) = \dfrac{{30,5 — 3At}}{2} \cdot \left( {2 + t} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,42 + 84t + 42{t^2} = 61 + 30,5t — 126t — 63{t^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\(105{t^2} + 179,5t — 19 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t_1} = \dfrac{1}{{10}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t_2} = — \dfrac{{38}}{{21}}.\)
Корень \({t_2} = — \dfrac{{38}}{{21}}\) не подходит. Следовательно: \(\dfrac{r}{{100}} = \dfrac{1}{{10}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,r = 10\% .\)
Ответ: 10.