17В. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая—31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Ответ

ОТВЕТ: 2 622 050.

Решение

А = 4 290 000 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличивается на 14,5%, то есть в  \(\frac{{100 + 14,5}}{{100}} = 1,145 = t\) раз.

х – ежегодная выплата (в рублях).

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 \(A \cdot t\) х \(\)\(At — x\)
2 \(\left( {At — x} \right)t\) х \(\left( {At — x} \right)t — x\)

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце второго года равен нулю.

\(\left( {At — x} \right)t — x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,A\,{t^2} — x\,t — x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \frac{{A\,{t^2}}}{{t + 1}}\)

\(x = \frac{{4290000 \cdot {{1,145}^2}}}{{1,145 + 1}} = \frac{{4290000 \cdot {{1,145}^2}}}{{2,145}} = 2000 \cdot 1145 \cdot 1,145 = 2\,622\,050\)  рублей.

Ответ: 2 622 050 рублей.