20В. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Ответ

ОТВЕТ: 3 993 000.

Решение

A = 9930000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 10%, то есть в  \(\frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t\) раз.

x – ежегодная выплата (в рублях).

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 \(At\) x \(At — x\)
2 \(\left( {At — x} \right)t\) x \(\left( {At — x} \right)t — x\)
3 \(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t\) x \(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x\)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

\(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0\,\,\,\,A\,{t^3} = x\left( {{t^2} + t + 1} \right)\)

\(x = \frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = \frac{{9930000 \cdot {{1,1}^3}}}{{{{1,1}^2} + 1,1 + 1}} = \frac{{9930 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11}}{{3,31}} =  = 3000 \cdot 1331 = 3993000\)   рублей.

Ответ:  3 993 000 рублей.