A = 7378000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 12,5%, то есть в \(\frac{{100 + 12,5}}{{100}} = 1,125 = \frac{9}{8} = t\) раз. Пусть x – ежегодный платёж, когда кредит будет выплачен за 3 года.
| Год |
Долг после начисления процентов (руб) |
Платёж (руб) |
Остаток после платежа (руб) |
| 1 |
\(At\) |
x |
\(At — x\) |
| 2 |
\(\left( {At — x} \right)t\) |
x |
\(\left( {At — x} \right)t — x\) |
| 3 |
\(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t\) |
x |
\(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x\) |
Остаток в конце третьего года равен нулю.
\(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0\,\,\,\,A\,{t^3} = x\left( {{t^2} + t + 1} \right)\)
\(x = \frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + t + 1}} = \frac{{7378000 \cdot {{\left( {\frac{9}{8}} \right)}^3}}}{{{{\left( {\frac{9}{8}} \right)}^2} + \frac{9}{8} + 1}} = 3098250\) рублей.
Следовательно, выплаты за 3 года составили: \(3x = 3 \cdot 3098250 = 9\,\,294\,\,750\) рублей.
Пусть y – ежегодный платёж, когда кредит будет выплачен за 2 года.
| Год |
Долг после начисления процентов (руб) |
Платёж (руб) |
Остаток после платежа (руб) |
| 1 |
\(At\) |
y |
\(At — y\) |
| 2 |
\(\left( {At — y} \right)t\) |
y |
\(\left( {At — y} \right)t — y\) |
Остаток в конце второго года равен нулю.
\(\left( {At — y} \right)t — y = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^2} — yt — y = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^2} = y\left( {t + 1} \right)\)
\(y = \frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = \frac{{7378000 \cdot {{\left( {\frac{9}{8}} \right)}^2}}}{{\frac{9}{8} + 1}} = 4394250\) рублей.
Следовательно, выплаты за 2 года составили: \(2y = 2 \cdot 4394250 = 8\,\,788\,\,500\) рублей.
Таким образом, разница составит: \(3x — 2y = 9\,\,294\,\,750 — 8\,\,788\,\,500 = 506\,\,250\) рублей.
Ответ: 506 250 рублей.