A = 8052000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на 20%, то есть в \(\frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2 = t\) раз. Пусть x – ежегодный платёж, когда кредит будет выплачен за 4 года.
| Год |
Долг после начисления процентов (руб) |
Платёж (руб) |
Остаток после платежа (руб) |
| 1 |
\(At\) |
x |
\(At — x\) |
| 2 |
\(\left( {At — x} \right)t\) |
x |
\(\left( {At — x} \right)t — x\) |
| 3 |
\(\left( {\left( {At — x} \right) \cdot t — x} \right)t\) |
x |
\(\left( {\left( {At — x} \right) \cdot t — x} \right)t — x\) |
| 4 |
\(\left( {\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x} \right)t\) |
x |
\(\left( {\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x} \right)t — x\) |
Остаток в конце четвёртого года равен нулю.
\(\left( {\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x} \right)t — x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A\,{t^4} — x\,{t^3} — x\,{t^2} — x\,t — x = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,A{t^4} = x\left( {{t^3} + {t^2} + t + 1} \right)\)
\(x = \frac{{A{t^4}}}{{{t^3} + {t^2} + t + 1}} = \frac{{8052000 \cdot {{1,2}^4}}}{{{{1,2}^3} + {{1,2}^2} + 1,2 + 1}} = 3110400\) рублей.
Следовательно, выплаты за 4 года составили: \(4x = 4 \cdot 3110400 = 12\,\,441\,\,600\) рублей.
Пусть y – ежегодный платёж, когда кредит будет выплачен за 2 года.
| Год |
Долг после начисления процентов (руб) |
Платёж (руб) |
Остаток после платежа (руб) |
| 1 |
\(At\) |
y |
\(At — y\) |
| 2 |
\(\left( {At — y} \right)t\) |
y |
\(\left( {At — y} \right)t — y\) |
Остаток в конце второго года равен нулю.
\(\left( {At — y} \right)t — y = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^2} — yt — y = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^2} = y\left( {t + 1} \right)\)
\(y = \frac{{A{t^2}}}{{t + 1}} = \frac{{8052000 \cdot {{1,2}^2}}}{{1,2 + 1}} = 5270400\) рублей.
Следовательно, выплаты за 2 года составили: \(2y = 2 \cdot 5270400 = 10\,\,540\,\,800\) рублей.
Таким образом, разница составит: \(4x — 2y = 12\,\,441\,\,600 — 10\,\,540\,\,800 = 1\,\,900\,\,800\) рублей.
Ответ: 1 900 800 рублей.