29В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 75 000 рублей, а во второй год—46 000 рублей. Найдите число r.

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Решение

A = 100 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на r %, то есть в \(\frac{{100 + r}}{{100}} = t\) раз.

Платежи:    a = 75 000 рублей в 1–й год;      b = 46 000 рублей во 2–й год.

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 \(At\) a \(At — a\)
2 \(\left( {At — a} \right)t\) b \(\left( {At — a} \right)t — b\)

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце второго года равен нулю.

\(\left( {At — a} \right)t — b = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,100000{t^2} — 75000t — 46000 = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,100{t^2} — 75t — 46 = 0;\)

\(D = 5625 + 18400 = 24025 = {155^2};\,\,\,\,\,{t_1} = \frac{{23}}{{20}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t_2} =  — \frac{2}{5}\)    не подходит.

\(\frac{{100 + r}}{{100}} = \frac{{23}}{{20}};\,\,\,\,\,\,100 + r = 115;\,\,\,\,\,\,r = 15\)%.

Ответ: 15.