Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 30В

30В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 68 000 рублей, а во второй год—59 000 рублей. Найдите число r.

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Решение

А = 100 000 рублей – сумма кредита. Через год долг увеличивается на r%, то есть в \(\dfrac{{100 + r}}{{100}} = t\) раз.

Платежи: a = 68 000 рублей в 1–й год; b = 59 000 рублей во 2–й год.

Год	Долг после начисления процентов (руб)	Платёж (руб)	Остаток после платежа (руб)
1	\(At\)	a	\(At — a\)
2	\(\left( {At — a} \right)t\)	b	\(\left( {At — a} \right)t — b\)

Так как долг выплачен за 2 года, то остаток в конце 2–го года равен нулю.

\(\left( {At — a} \right)t — b = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,100000{t^2} — 68000t — 59000 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,100{t^2} — 68t — 59 = 0;\)

\(D = {68^2} + 400 \cdot 59 = 28224;\,\,\,\,\,\,\sqrt D = 168;\,\,\,\,\,\,{t_1} = \dfrac{{68 + 168}}{{200}} = \dfrac{{118}}{{100}};\,\,\,\,\,\,\,{t_2} = \dfrac{{68 — 168}}{{200}} = — \dfrac{1}{2}.\)

\({t_2} = — \dfrac{1}{2}\) не подходит. Следовательно: \(\dfrac{{100 + r}}{{100}} = \dfrac{{118}}{{100}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 18\)%.

Ответ: 18.