31В. Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Ответ

ОТВЕТ: 26 620.

Решение

А = 270 200 рублей – сумма кредита.

Через год долг увеличился на 10%, то есть в \(\frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t\) раз.

Пусть x – первый платёж (в рублях);    3x – второй;    9x – третий.

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 \(At\) x \(At — x\)
2 \(\left( {At — x} \right)t\) 3x \(\left( {At — x} \right)t — 3x\)
3 \(\left( {\left( {At — x} \right)t — 3x} \right)t\) 9x \(\left( {\left( {At — x} \right)t — 3x} \right)t — 9x\)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

\(\left( {\left( {At — x} \right)t — 3x} \right)t — 9x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^3} — x{t^2} — 3xt — 9x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{t^3} = x\left( {{t^2} + 3t + 9} \right)\)

\(x = \frac{{A{t^3}}}{{{t^2} + 3t + 9}} = \frac{{270200 \cdot {{1,1}^3}}}{{{{1,1}^2} + 3 \cdot 1,1 + 9}} = \frac{{270200 \cdot 1,331}}{{13,51}} = 20000 \cdot 1,331 = 26620\)  рублей.

Следовательно, первый платёж составил  26 620 рублей.

Ответ: 26 620 рублей.