32В. Георгий взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Георгий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Георгий погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Георгий заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Ответ

ОТВЕТ: 133 100.

Решение

А = 804 000 рублей – сумма кредита

Через год долг увеличился на 10%, то есть в \(\frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t\) раз.

Пусть 4x – первый платёж (в рублях);      2x – второй;       x – третий.

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 \(At\) 4x \(At — 4x\)
2 \(\left( {At — 4x} \right)t\) 2x \(\left( {At — 4x} \right)t — 2x\)
3 \(\left( {\left( {At — 4x} \right)t — 2x} \right)t\) x \(\left( {\left( {At — 4x} \right)t — 2x} \right)t — x\)

Так как долг выплачен за 3 года, то остаток в конце третьего года равен нулю.

\(\left( {\left( {At — 4x} \right)t — 2x} \right)t — x = 0;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A{t^3} — 4x{t^2} — 2xt — x = 0\)

\(x = \frac{{A{t^3}}}{{4{t^2} + 2t + 1}} = \frac{{804000 \cdot {{1,1}^3}}}{{4 \cdot {{1,1}^2} + 2 \cdot 1,1 + 1}} = \frac{{804000 \cdot 1,331}}{{8,04}} = 100 \cdot 1331 = 133100\)  рублей.

Следовательно, третий платёж составил  133 100 рублей.

Ответ: 133 100 рублей.