А = сумма кредита (в рублях). Через год долг увеличился на 30%, то есть в \(\frac{{100 + 30}}{{100}} = 1,3 = t\) раз. Пусть x – ежегодный платёж (в рублях)
| Год |
Долг после начисления процентов (руб) |
Платёж (руб) |
Остаток после платежа (руб) |
| 1 |
\(At\) |
x |
\(At — x\) |
| 2 |
\(\left( {At — x} \right)t\) |
x |
\(\left( {At — x} \right)t — x\) |
| 3 |
\(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t\) |
x |
\(\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x\) |
Общая сума выплат равна 3x, а остаток в конце третьего года равен нулю.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x — A = 78030;} \\ {\left( {\left( {At — x} \right)t — x} \right)t — x = 0.} \end{array}} \right.\)
Из второго уравнения: \(A{t^3} — x{t^2} — xt — x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A \cdot {1,3^3} = x \cdot {1,3^2} + 1,3x + x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A = \frac{{3,99x}}{{2,197}}\)
Подставим в первое уравнение:
\(3x — \frac{{3,99x}}{{2,197}} = 78030\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = \frac{{78030 \cdot 2197}}{{2601}}\)
Тогда: \(A = \frac{{3990 \cdot 78030 \cdot 2197}}{{2197 \cdot 2601}} = 3990 \cdot 30 = 119700\) рублей.
Ответ: 119 700 рублей.