35В. Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 4 420 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 10 %. Светлана Михайловна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами — в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

Ответ

ОТВЕТ: 2 928 200.

Решение

А = 4420000 рублей – сумма кредита, которая через год увеличивается на 10%, то есть в \(\frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t\) раз.  Пусть x – платежи в конце второго и четвёртого годов.

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 \(At\) 0 \(At\)
2 \(A{t^2}\) x \(A{t^2} — x\)
3 \(\left( {A{t^2} — x} \right)t\) 0 \(\left( {A{t^2} — x} \right)t\)
4 \(\left( {A{t^2} — x} \right){t^2}\) x \(\left( {A{t^2} — x} \right){t^2} — x\)

Остаток в конце четвёртого года равен нулю.

\(\left( {A{t^2} — x} \right){t^2} — x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,A{t^4} — x\,{t^2} — x = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A\,{t^4} = x\left( {{t^2} + 1} \right)\)

\(x = \frac{{A{t^4}}}{{{t^2} + 1}} = \frac{{4420000 \cdot {{1,1}^4}}}{{{{1,1}^2} + 1}} = \frac{{442 \cdot {{11}^4}}}{{2,21}} = 200 \cdot 121 \cdot 121 = 2928200\) рублей.

Следовательно, каждый из платежей составляет по 2 928 200 рублей.

Ответ: 2 928 200 рублей.