37В. Банк предоставляет кредит сроком на 10 лет под 19% годовых на следующих условиях: ежегодно заёмщик возвращает банку 19% от непогашенной части кредита и \(\frac{1}{{10}}\) суммы кредита. Так, в первый год заёмщик выплачивает \(\frac{1}{{10}}\) суммы кредита и 19% от всей суммы кредита, во второй год заёмщик выплачивает \(\frac{1}{{10}}\) суммы кредита и 19% от \(\frac{9}{{10}}\) суммы кредита и т. д. Во сколько раз сумма, которую выплатит банку заёмщик, будет больше суммы кредита, если заёмщик не воспользуется досрочным погашением кредита?

Ответ

ОТВЕТ: 2,045.

Решение

А – сумма кредита; срок 10 лет.

Каждый год банк начисляет 19% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и десятую часть от суммы кредита, то есть \(\frac{A}{{10}}\). Таким образом, через 1 год остаток долга будет \(\frac{{9A}}{{10}}\), через 2 года \(\frac{{8A}}{{10}}\), через 3 года \(\frac{{7A}}{{10}}\) и так далее.

Год Начисленные % Остаток после платежа
1 \(A \cdot \frac{{19}}{{100}}\) \(A — \frac{A}{{10}} = \frac{{9A}}{{10}}\)\(\)
2 \(\frac{{9A}}{{10}} \cdot \frac{{19}}{{100}}\) \(\frac{{9A}}{{10}} — \frac{A}{{10}} = \frac{{8A}}{{10}}\)\(\)\(\)
3 \(\frac{{8A}}{{10}} \cdot \frac{{19}}{{100}}\) \(\frac{{8A}}{{10}} — \frac{A}{{10}} = \frac{{7A}}{{10}}\)
…   …   …  
10 \(\frac{A}{{10}} \cdot \frac{{19}}{{100}}\) \(\frac{A}{{10}} — \frac{A}{{10}} = 0\)

Общая сумма выплат за 10 лет равна сумме кредита А и начисленным процентам:

\(A + \frac{{10A}}{{10}} \cdot \frac{{19}}{{100}} + \frac{{9A}}{{10}} \cdot \frac{{19}}{{100}} + \frac{{8A}}{{10}} \cdot \frac{{19}}{{100}} + … + \frac{A}{{10}} \cdot \frac{{19}}{{100}} = A + \frac{{19}}{{100}} \cdot \frac{A}{{10}} \cdot \left( {10 + 9 + 8 + … + 1} \right) = \)

\( = A + \frac{{19}}{{100}} \cdot \frac{A}{{10}} \cdot \frac{{1 + 10}}{2} \cdot 10 = A + \frac{{209A}}{{200}} = \frac{{409A}}{{200}} = 2,045A\)

Таким образом, сумма выплаченная банку заёмщиком в 2,045 раз больше суммы кредита.

Ответ: 2,045.