38В. Банк предоставляет ипотечный кредит сроком на 20 лет под 12% годовых на следующих условиях: ежегодно заёмщик возвращает банку 12% от непогашенной части кредита и \(\frac{1}{{20}}\) суммы кредита. Так, в первый год заёмщик выплачивает \(\frac{1}{{20}}\) суммы кредита и 12% от всей суммы кредита, во второй год заёмщик выплачивает \(\frac{1}{{20}}\) суммы кредита и 12% от \(\frac{{19}}{{20}}\) суммы кредита и т. д. Во сколько раз сумма, которую выплатит банку заёмщик, будет больше суммы кредита, если заёмщик не воспользуется досрочным погашением кредита?

Ответ

ОТВЕТ: 2,26.

Решение

А – сумма кредита; срок 20 лет.

Каждый год банк начисляет 12% на остаток, а заёмщик выплачивает эти проценты и двадцатую часть от суммы кредита, то есть \(\frac{A}{{20}}\).Таким образом, через 1 год остаток долга будет \(\frac{{19A}}{{20}}\), через 2 года \(\frac{{18A}}{{20}}\), через 3 года \(\frac{{17A}}{{20}}\) и так далее.

Год Начисленные % Остаток после платежа
1 \(A \cdot \frac{{12}}{{100}}\) \(A — \frac{A}{{20}} = \frac{{19A}}{{20}}\)\(\)
2 \(\frac{{19A}}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}}\) \(\frac{{19A}}{{20}} — \frac{A}{{20}} = \frac{{18A}}{{20}}\)\(\)\(\)
3 \(\frac{{18A}}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}}\) \(\frac{{18A}}{{20}} — \frac{A}{{20}} = \frac{{17A}}{{20}}\)
…   …    … 
20 \(\frac{A}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}}\) \(\frac{A}{{20}} — \frac{A}{{20}} = 0\)

Общая сумма выплат за 20 лет равна сумме кредите А и сумме начисленных процентов.

\(A + \frac{{20A}}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}} + \frac{{19A}}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}} + \frac{{18A}}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}} + … + \frac{A}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}} = A + \frac{A}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}} \cdot \left( {20 + 19 + 18 + … + 1} \right) = \)

\( = A + \frac{A}{{20}} \cdot \frac{{12}}{{100}} \cdot \frac{{1 + 20}}{2} \cdot 20 = A + \frac{{252A}}{{200}} = \frac{{452A}}{{200}} = 2,26A\)

Таким образом, сумма выплаченная банку заёмщиком в 2,26 раз больше суммы кредита.

Ответ: 2,26.