39В. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при которой через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. Ответ дайте в млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

А = 10 млн. рублей – первоначальный вклад.  Пусть  x – сумма на которую пополняется вклад в начале третьего и четвёртого годов (целое число млн. руб.).

В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в \(\frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t\) раз.

Год Вклад в начале года (в млн. руб) Вклад в конце года (в млн. руб)
1 \(A\) \(At\)
2 \(At\) \(A{t^2}\)
3 \(A{t^2} + x\) \(\left( {A{t^2} + x} \right)t\)
4 \(\left( {A{t^2} + x} \right)t + x\) \(\left( {\left( {A{t^2} + x} \right)t + x} \right)t\)

По условию задачи вклад в конце четвёртого года должен быть не меньше 30 млн. руб.

\(\left( {\left( {A{t^2} + x} \right)t + x} \right)t \ge 30\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,10 \cdot {1,1^4} + x \cdot {1,1^2} + x \cdot 1,1 \ge 30\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2,31x \ge 15,359\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x \ge \frac{{15359}}{{2310}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ge 6\frac{{1499}}{{2310}}.\)

Так как, х наименьшее целое, то х = 7 млн. руб

Ответ: 7.