40В. Вклад в размере 6 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при которой через четыре года вклад станет не меньше 15 млн рублей. Ответ дайте в млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

А = 6 млн. рублей – первоначальный вклад.

В конце каждого года вклад увеличивается на 10%, то есть увеличивается в \(\frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1 = t\) раз.  Пусть  x – сумма на которую наполняется вклад в начале третьего и четвёртого годов (целое число млн. рублей).

Год Вклад в начале года (в млн. руб) Вклад в конце года (в млн. руб)
1 \(A\) \(At\)
2 \(At\) \(A{t^2}\)
3 \(A{t^2} + x\) \(\left( {A{t^2} + x} \right)t\)
4 \(\left( {A{t^2} + x} \right)t + x\) \(\left( {\left( {A{t^2} + x} \right)t + x} \right)t\)

По условию задачи вклад в коне четвёртого года должен быть не меньше 15 млн. рублей.

\(\left( {\left( {A{t^2} + x} \right)t + x} \right)t \ge 15\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,6 \cdot {1,1^4} + {1,1^2} \cdot x + 1,1x \ge 15\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2,31x \ge 6,2154\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \ge \frac{{62154}}{{23100}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x \ge 2\frac{{2659}}{{3850}}.\)

Так как х наименьшее целое, то х = 3 млн. руб.

Ответ: 3.