47В. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита (в млн рублей), при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

A – сумма кредита (в млн. рублей).

Каждый год сумма кредита увеличивается на 10%, то есть в \(\frac{{100 + 10}}{{100}} = 1,1\) раз.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по \(0,1A\), а в конце четвёртого и пятого годов платежи составляют по x рублей.

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 1,1A 0,1A A
2 1,1A 0,1A A
3 1,1A 0,1A A
4 1,1A x \(1,1A — x\)
5 \((1,1A — x)1,1\) x \(\left( {1,1A — x} \right)1,1 — x\)

Остаток в конце пятого года долг полностью погашен, поэтому остаток равен нулю, а общая сумма выплат \(0,3A + 2x\) должна быть меньше 8 млн. руб.

\(\left\{ \begin{array}{l}(1,1A — x)1,1 — x = 0;\\0,3A + 2x < 8.\end{array} \right.\)

Выразим из уравнения x и подставим в неравенство:    \(1,21A = 2,1x\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = \frac{{1,21A}}{{2,1}}.\)

\(0,3A + \frac{{2,42A}}{{2,1}} < 8\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,0,63A + 2,42A < 16,8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,3,05A < 16,8\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A < \frac{{1680}}{{305}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,A < 5\frac{{31}}{{61}}.\)

Так как A должно быть наибольшим и целым, то A = 5 млн. рублей.

Ответ: 5.