48В. Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита (в млн рублей), при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

A – сумма кредита (в млн. рублей).

Каждый год сумма кредита увеличивается на 20%, то есть в \(\frac{{100 + 20}}{{100}} = 1,2\) раз.

Первые 3 года заёмщик выплачивает только проценты, то есть по \(0,2A\), а в конце четвёртого и пятого годов платежи составляют по x рублей.

Год Долг после начисления процентов (руб) Платёж (руб) Остаток после платежа (руб)
1 1,2A 0,2A A
2 1,2A 0,2A A
3 1,2A 0,2A A
4 1,2A x \(1,2A — x\)
5 \((1,2A — x)1,2\) x \(\left( {1,2A — x} \right)1,2 — x\)

Остаток в конце пятого года долг полностью погашен, поэтому остаток равен нулю, а общая сумма выплат \(0,6A + 2x\) должна быть больше 10 млн. руб.

\(\left\{ \begin{array}{l}(1,2A — x)1,2 — x = 0;\\0,6A + 2x > 10.\end{array} \right.\)

Выразим из уравнения x и подставим в неравенство:   \(1,44A = 2,2x\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = \frac{{1,44A}}{{2,2}}.\)

\(0,6A + \frac{{1,44A}}{{1,1}} > 10;\,\,\,\,\,\,0,66A + 1,44A > 11\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,2,1A > 11\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A > 5\frac{5}{{21}}\).

Так как A должно быть наименьшим и целым, то A = 6 млн. рублей.

Ответ: 6.