Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 50В

50В. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший—не менее 0,5 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 25.

Решение

A = 6 млн рублей сумма кредита.

Каждый год долг возрастает на r% и уменьшается заёмщиком на одну и ту же сумму, то есть на \(\dfrac{6}{{15}} = 0,4\)млн руб.

Следовательно, ежегодные платежи равны 0,4 млн руб. плюс начисленные проценты на остаток за год.

Год	Начисленные % (руб)	Платёж (руб)	Остаток (руб)
1	\(6 \cdot \dfrac{r}{{100}}\)	\(6 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,4\)	5,6
2	\(5,6 \cdot \dfrac{r}{{100}}\)	\(5,6 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,4\)	5,2
…	…	…	…
15	\(0,4 \cdot \dfrac{r}{{100}}\)	\(0,4 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,4\)	0

Наибольший годовой платёж первый \(6 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,4\), а наименьший последний \(0,4 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,4\). Следовательно:

\(\left\{ \begin{array}{l}6 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,4 \le 1,9\\0,4 \cdot \dfrac{r}{{100}} + 0,4 \ge 0,5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}6r \le 150\\0,4r \ge 10\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}r \le 25\\r \ge 25\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,r = 25\% .\)

Ответ: 25.