61В. В июле 2017 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S—натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

  • каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
  • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
  • в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Месяц и год Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Июль 2020
Долг (в тыс. рублей) S 0,7 S 0,4 S 0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 200.

Решение

S – кредит тыс. рублей (S – натуральное). Каждый год остаток долга увеличивается на 15%. Первый год долг уменьшается на \(S — 0,7S = 0,3S\), второй год на \(0,7S — 0,4S = 0,3S\) и третий год на 0,4S.

Год Начисленные% (тыс. руб) Выплата (тыс. руб) Остаток (тыс. руб)
2018 \(0,15 \cdot S\) \(0,15 \cdot S + 0,3S\) \(0,7S\)
2019 \(0,15 \cdot 0,7S\) \(0,15 \cdot 0,7S + 0,3S\) 0,4S
2020 \(0,15 \cdot 0,4S\) \(0,15 \cdot 0,4S + 0,4S\) 0

Таким образом, первая выплата: \(0,45S = \frac{{45}}{{100}}S = \frac{9}{{20}} \cdot S\)

                           вторая выплата: \(0,405S = \frac{{405}}{{1000}} \cdot S = \frac{{81}}{{200}} \cdot S\)

                           третья выплата: \(0,46S = \frac{{46}}{{100}}S = \frac{{23}}{{50}}S\)

Все выплаты будут целыми, если S делится на 20, 200 и 50, то есть необходимо  найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 20, 200 и 50. Очевидно, что это 200. Следовательно, наименьшее значение S при котором каждая выплата целая: S = 200.

Ответ: 200.