Профиль №16. Задачи о вкладах и кредитах. Задача 65В (ЕГЭ 2016)

65В (ЕГЭ 2016). В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S—целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021
Долг (в млн. рублей)	S	0,8 S	0,6 S	0,4 S	0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 50 млн рублей.

Ответ

ОТВЕТ: 143.

Решение

S – кредит млн рублей (S – целое).

Каждый год остаток долга увеличивается на 25%. Первый год долг уменьшается на \(S — 0,8S = 0,2S\), второй год на \(0,8S — 0,6S = 0,2S\), третий год на \(0,6S — 0,4S = 0,2S\) и четвертый год на 0,4S.

Год	Начисленные % (млн руб)	Выплата (млн руб)	Остаток (млн руб)
2018	\(0,25S\)	\(0,25S + 0,2S = 0,45S\)	\(0,8S\)
2019	\(0,25 \cdot 0,8S\)	\(0,25 \cdot 0,8S + 0,2S = 0,4S\)	\(0,6S\)
2020	\(0,25 \cdot 0,6S\)	\(0,25 \cdot 0,6S + 0,2S = 0,35S\)	\(0,4S\)
2021	\(0,25 \cdot 0,4S\)	\(0,25 \cdot 0,4S + 0,4S = 0,5S\)	0

Чтобы все выплаты были больше 50 млн рублей достаточно, чтобы наименьшая выплата была больше 50 млн рублей. Наименьшей является третья выплата – 0,35S. Следовательно:

\(0,35S > 50\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,S > \dfrac{{5000}}{{35}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,S > \dfrac{{1000}}{7}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,S > 142\dfrac{6}{7}.\)

Так как S наименьшее целое, то S = 143.

Ответ: 143.